ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 - 2009, MÔN TOÁN
Thi ngày 29/3/2009(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1

Tính P =
với
;
.
2,0



ĐK:
hoặc

Nếu
thì P =



Nếu
thì P =

(Vì







0,5



0,5





0,5


0,5

2
a
Giải phương trình
(1)
1,5



ĐK:
, (1)
(2)
+)
không thoả mãn phương trình
+)
, (2)


(TM) hoặc
(loại). KL: x = 2

0,5

0,25


0,5


0,25


b
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn
(1)
1,5



(1)




(Vì 7 chỉ có các ước là
)
Thử lại:
(TM),
(TM),

(TM),
(TM)

0,25


0,25


0,5




0,5

3
a
Chứng minh MH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BLH.
1,5



Gọi P là trực tâm tam giác ABC suy ra B, H, P, L nằm trên một đường tròn
Tam giác AHC vuông tại H

Lại có
(cùng phụ với góc
hoặc góc ngoài của góc
nếu góc C tù – Hình (*))
Suy ra
MH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
tại H.


Hình(1)
0,25

0,25


0,5


0,5

3
b
Chứng minh rằng:
và
(Hình(1))
1,0



Giả sử AB = a, BC = b, CD = c, DA = d lần lượt tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R tại M, N, T, Q.
Ta có AM = AQ, BM = BN, CT = CN, DT = DQ ( DC + AB = AD + BC
( a + c = b + d = P.
Ta có S =SABCD = SABO + SBCO + SCDO + SDOA =
(1)
Lại có S=SABCD = SABD + SCBD
. (hB; hD tương ứng là các đường cao kẻ từ B trong tam giác ABD; kẻ từ D trong tam giác DBC)
Dấu “=” xảy ra
. Tương tự ta có
S = SABCD = SABC + SADC
. Dấu “=” xảy ra


hay

Kết hợp với (1)
.
Các dấu “=” xảy ra ( ABCD có 4 góc vuông ( ABCD là hình chữ nhật
Kết hợp với
hay ABCD là hình vuông.







0,25








0,25


0,25




0,25

4
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
.

1,5



Ta có
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

M =

Đẳng thức xảy ra

.Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
khi


0,5


0,5

0,5


b
Chứng minh rằng từ 33 điểm nói trên luôn có thể tìm được 3 điểm sao cho diện tích tam giác có đỉnh là 3 điểm đó không vượt quá
dm2.
1,0



Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông cạnh 1 dm. Vì có 33 = 16.2 + 1 điểm nên tồn tại một hình vuông chứa ít nhất 3 điểm, giả sử là A, B và C.
(nếu không thì mỗi hình vuông chứa nhiều nhất 2 điểm ( 16 hv chứa không quá 32 điểm, trái gt)
Xét hình vuông cạnh 1 dm chứa 3 điểm A, B, C nói trên. Qua A, B, C kẻ các đường thẳng // với các cạnh hv ( A, B, C thuộc các cạnh của một hình chữ nhật mà hcn này nằm trọn trong hình vuông đang xét, như hình vẽ.
Qua C kẻ đường thẳng // với cạnh của hcn



( x, y là hai cạnh của hcn). Vậy
(dm2)




Hình(*)





0,25




0,25

0,25